Découpage, objectifs par chapitre, liens avec le programme officiel

Introduction à la notion de limite

• infini(s) ; définition intuitive de limite ; limites à droite et à gauche ; approche graphique ;

Limites de fonctions élémentaires

• théorème [limites de fonctions élémentaires] et théorème [propriétés des limites], sans démonstrations; calculs de limites avec ces théorèmes ;

Limites infinies et en l'infini

• limites de type 1/0 ; calculs par limites à gauche et à droite ; interprétation graphique ;

• algèbre de l'infini ; application aux calculs de limites ;interprétation graphique
  

Indéterminations

• notion d'indétermination ; différents types d'indéterminations ;

• calculs de limites indéterminées :

  • type 0/0 polyn par factorisation/simplification ;

  • type 0/0 avec racines par multiplication par le conjugué ;

  • type "infini/infini" ou "infini-infini" par mise en évidence forcée ;

• interpréter graphiquement un résultat de calcul de limite ; lire ou estimer une limite d'après une représentation graphique ;

  représenter graphiquement une fonction qui doit respecter certaines conditions

Introduction à la notion de dérivée

• taux de variation ;

• dérivée en un point (nombre dérivé): définition, calculs ;

• interprétation géométrique comme pente de tangente ;

Fonction dérivée

• fonction dérivée : définition ;

• calculs de dérivées de fonctions élémentaires avec la définition ;

• équation de la tangente ; théorème sur l'équation de la tangente ;

• lien graphique entre f et f ' ;

Formules de dérivation

• formules de dérivation, y compris dérivées de fonctions composées : utilisation efficace (démos seront vues plus loin)
  

Relation entre « extremum de f » et « zéro de f' »

• extrema (min/max) local et global, point critique : définitions et interprétation graphique ;

• relation entre « extremum de f et "zéro de f ' » : énoncer et utiliser (démo facultative)
  

Relation entre «(dé)croissance de f » et «signe de f' »

• croissance/décroissance sur un intervalle : définitions et interprétation graphique ;

• relation entre «(dé)croissance de f et "signe de f ' » (= corollaireAF) : énoncer et utiliser (démo facultative)
  

  • théorèmes « image d'un fermé » et de Rolle : énoncer, avoir compris la démonstration, discuter les hypothèses (facultatif)
    

  • théorème AF : énoncer, démontrer, discuter les hypothèses ; applications (facultatif)
    

  • (dé)croissance d'une fonction sur un intervalle : définitions et interprétation graphique (facultatif)
    

  • corollaire du théorème des accroissements finis [relation entre «(dé)croissance de f et "signe de f '] : énoncer, démontrer ; applications (facultatif)
    

• tracer une représentation graphique d'une fonction vérifiant des conditions données ;

• avancés ou facultatif en normal : convexité, concavité ; points d'inflexion ; relation entre «convexité/concavité de f et "signe de f '' » ;

Applications de la dérivée»

• problèmes d'optimisation

• asymptotes verticales, horizontales

• asymptotes obliques (facultatif)
  

• étude de fonction rationnelle.

Limite, continuité et comportement asymptotique

• Calculer des limites simples : détermination de nombres dérivés et d'asymptotes

• Maîtriser graphiquement la continuité d’une fonction en un point

Dérivée et taux de variation

• Interpréter graphiquement la dérivée en un point (équation de la droite tangente, approximation du premier ordre)

• Calculer les dérivées des fonctions élémentaires à partir de la définition de la dérivée

• Maîtriser les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition de fonctions)

Étude de fonctions

• Utiliser la relation entre le signe de la dérivée et le sens de variation

• Résoudre des problèmes d'extrema

 Continuité

• approche intuitive de la continuité en un point, sur un intervalle ;

• définition mathématique de la continuité en un point, sur un intervalle ;

• théorème « relation continuité-dérivabilité en a » et sa réciproque ;

• interpréter graphiquement la (non)continuité en un point ;

Formules de dérivation

• démonstration de (f+g)', (fg)' et (1/f)' ; démonstration de la dérivée de la composée facultative
  

Limites et dérivées trigonométriques

• La fonction f définie par f(x)=sin(x)/x : propriétés, représentation graphique ; limite en 0 (énoncer et démontrer), utiliser pour des calculs de limites trigonométriques ;

• dérivées de sin, cos et tan ; dérivées de fonctions trigonométriques 

• Faire le lien entre dérivabilité et continuité

• Connaître la démonstration de quelques théorèmes (par exemple: Rolle, Lagrange, extremum)

Décembre pour semestrielle : objectif minimal = calcul de limites sans trigo, dérivées, optimisation, étude de fonction

Fin janvier

Vecteurs, opérations

• notion de grandeur scalaire ou vectorielle, de vecteur : direction, sens et longueur; égalité entre deux vecteurs ; opérations de base : addition, multiplication par un scalaire, soustraction ;

• représenter graphiquement des vecteurs, effectuer des opérations entre eux de façon géométrique ; représenter graphiquement la somme, la différence de deux vecteurs du plan, le produit d'un vecteur du plan par un scalaire
  

Colinéarité, combinaisons linéaires

• colinéarité ; combinaison linéaire de vecteurs ;

• déterminer – graphiquement et algébriquement - si un vecteur est ou pas combinaison linéaire de vecteurs donnés; si oui, déterminer cette combinaison linéaire ;

Les vecteurs pour démontrer

• démontrer des propriétés géométriques grâce aux vecteurs ;

Vecteurs en composantes

• coordonnées d'un vecteur dans un repère dans le plan, dans l'espace ; vecteur entre deux points ;

• calculer la somme, la différence de deux vecteurs, le produit d'un vecteur par un scalaire ;

• expression pour la norme ; vecteur unité ; déterminer un vecteur unitaire colinéaire à un vecteur donné ;

Equations vectorielles

• vecteur directeur d'une droit, d'un plan

• équation vectorielle, paramétrique et cartésienne d'une droite du plan ;

• équations vectorielles, paramétriques et cartésiennes d'un plan et d'une droite de l'espace ;

  • déterminer l'équation vectorielle et cartésienne d'une droite à partir de deux points/un point ;

  • déterminer l'équation vectorielle et cartésienne d'un plan à partir de trois points/un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires ;

  • déterminer l'équation vectorielle d'une droite à partir de deux points/un point et un vecteur directeu

• produit scalaire entre deux vecteurs / test d'orthogonalité / calcul d'angle
• vecteur projection sur la direction d'un vecteur donné
• vecteur normal d'une droite, d'un plan
• équation vectorielle et cartésienne d'une droite dans le plan avec vecteur normal et point
• équation vectorielle et cartésienne d'un plan dans l'espace avec vecteur normal et point
• produit scalaire : déf, propriétés, thm, utilisations

• Vecteurs du plan et de l’espace
  

• Connaître la définition d’un vecteur

• Maîtriser les opérations sur les vecteurs

Droites et plans

• Établir les équations des droites et des plans

• Déterminer les traces et calculer les intersections

Produit scalaire

• Connaître la définition et les propriétés du produit scalaire

• Calculer des longueurs, des angles, des distances et des aires

• Déterminer l’équation de sous-ensembles particuliers (par exemple: hauteur et médiatrice d’un triangle, tangente à un cercle, plan tangent à une sphère)

• bonnes pratiques : décomposer une expérience globale en étapes successives disjointes; représenter sous forme d'arbre ou de tableau, règle du produit, travailler avec la "question complémentaire" si cela est plus simple

• factorielles, permutations, arrangements, combinaisons

• résoudre des problèmes de combinatoire

Analyse combinatoire

• Maîtriser les notions de permutations, d’arrangements et de combinaisons

• Notions d'expérience aléatoire, d'événement aléatoire élémentaire ou non, d'univers, d'événements disjoints (incompatibles)
• Ensemble probabilisé fini, fini équiproblable : axiomes, exemples, théorèmes
• -> avancés : différence avec un ensemble probabilisé infini dénombrable, infini continu

Conditionnelles et indépendance

• Probabilité conditionnelle : définition, exemples
• Indépendance de 2 événements aléatoires : définition, exemples, théorème

Statistique descriptive

• Représenter, interpréter et résumer les données d’une série statistique

Épreuve aléatoire

• Connaître et utiliser les définitions (issue, univers, événement, ....)

Axiomes des probabilités •

• Connaître et utiliser ces axiomes et les théorèmes qui en découlent

Probabilité conditionnelle •

• Déterminer l’indépendance ou la dépendance de deux événements

• Utiliser le théorème de Bayes