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Quelques éléments de réflexion - html

1.     Le contexte

2.     Calculs - outils de calculs

2.1.    Calcul versus raisonnement

2.2.    Calcul exact ou approché

3.    Différents outils de calcul

4.     Des questions

5.     Quelques arguments en faveur de son utilisation

6.     Quelques arguments en défaveur de son utilisation

7.     Que conclure ?

8.    Quelques recommandations

 

1.     Le contexte

Qu’on la subisse ou qu’on s’en réjouisse, il n’est plus possible aujourd’hui d’ignorer la généralisation d’outils technologiques d’un accès toujours plus aisé et à moindres coûts.

Portables, SMS, télécommandes, jeux, distributeurs de billets TPG[1], … : les compétences moyennes de la population dans la manipulation de ces objets se sont accrues en un temps record ! Associée à la généralisation d’Internet et des lignes ADSL, on peut sans risque de se tromper affirmer que notre société est aujourd’hui entrée dans une « ère MITIC[2] ». Cette évidence de disponibilité, d’utilité et d’efficacité entraîne une pression pour que le milieu scolaire intègre d’une part des apprentissages complémentaires liés à ces usages (maîtriser tel ou tel logiciel, …), d’autre part une réflexion liée au besoin de comprendre, d’analyser et de connaître les bénéfices et les risques de cette intégration – souvent réalisée au pas de charge - afin d’en garantir une utilisation raisonnable et raisonnée.

Cette évolution touche également les mathématiques où on constate un recours toujours plus important aux technologies. Les savoirs mathématiques évoluent, des domaines comme l’analyse numérique ou les statistiques, grands utilisateurs de MITIC, voient leur importance et les moyens qui leur sont alloués croître de façon importante.

L’enseignement des mathématiques est lui aussi touché. D’abord quant aux sujets d’étude choisis : la théorie des nombres, les statistiques ou la géométrie sont revalorisés, presque toujours en lien avec la proposition d’utiliser tel ou tel outil technologique pour en favoriser les enseignements et apprentissages. D’autres sujets se voient eux remis en question – connaissance mémorisée de tables d’opérations ou de valeurs remarquables, maîtrise de certains algorithmes, …

Deux questions fondamentales se posent alors :

  • faut-il encore apprendre certaines manipulations que l’on peut faire facilement avec des machines ? si oui, lesquelles et pourquoi ?
  • quel équilibre recherche-t-on entre les aspects calculatoires et ceux qui sont plus liés à la compréhension du sens des mathématiques ?


La didactique – en particulier des mathématiques – a beaucoup à nous apporter pour tenter de répondre à ces questions (Guin & Trouche, 2003,  Floris & Conne, 2007).

Montrant la naïveté de certaines approches selon lesquelles la délégation de tâches techniques à des logiciels favoriserait automatiquement la conceptualisation, les recherches en didactique ont montré le rôle important de certaines techniques de calcul (instrumenté ou non) dans le processus de conceptualisation. Il semble par exemple aujourd’hui que l’usage des calculatrices peut être un apport intéressant pour mettre en place la numération dès l’école enfantine. (Del Notaro & Floris, 2004, 2005). Il a été montré aussi que l’introduction de la calculatrice nécessite une instrumentation des élèves et de l’enseignement (Rabardel, 1995, Guin & Trouche, 2003 ) sans laquelle on ne voit que des utilisations rudimentaires.

Parallèlement à ce courant de réflexion qui perçoit de façon positive cet outil et l’évolution qu’il permet, force est de constater une grande méfiance de nombreux mathématiciens, enseignant-e-s et parents. Deux débats principaux émergent.

Au niveau culturel d’abord : après 4000 ans de théories mathématiques, comment accepter l’introduction d’outils électroniques dans la recherche ? Quel est le statut de résultats obtenus à l’aide de calculs informatiques ? Certains refusent d’entrer en matière alors que d’autres rétorquent que c’est justement ainsi qu’on débloque des situations sans issue apparente, qu’on pousse plus avant les investigations qui mèneront à de nouvelles découvertes[3]. Pourtant la manipulation de symboles que permettent les outils électroniques s’inscrit dans la suite logique de l’utilisation des bouliers, abaques, et autres pascalines et du développement du symbolisme mathématique (écriture décimale, calcul littéral,…).

Ces nouveaux outils ont dynamisé les mathématiques expérimentales[4] et par suite la théorisation mathématique (calcul des décimales du nombre p).

Au niveau pédagogique ensuite : si les élèves ont une machine à disposition et ne calculent plus de tête ou à la main, leur investissement dans la résolution d'un problème est moindre, ils essaient n'importe quoi sans réflexion préalable, n'exercent plus leur mémoire ; les nombres finissent par avoir tous le même statut, ne sont pas organisés selon leurs propriétés et leurs comportements dans les opérations ! Mais à contrario, si les élèves disposent d’une calculatrice, ils peuvent se décharger des tâches techniques pour se concentrer sur l'appropriation du concept, on peut leur demander d'effectuer plusieurs essais pour découvrir une notion, essais auxquels ils renonceraient face à l’investissement demandé et qui seraient par ailleurs « chronophages » dans un cours de mathématiques sans la calculatrice.

Pour faire suite à ces premiers éléments de réflexion, entrons maintenant plus avant dans la description de ce qu’on entend aujourd’hui par calcul et outils de calcul.

 

2.     Calculs - outils de calculs

2.1.    Calcul versus raisonnement

Le rapport de la Commission Kahane[5] décrit bien une vision des rapports entre calcul et raisonnement : « Dans la culture, les deux termes : calcul mathématique et raisonnement apparaissent comme antagonistes. Le calcul est opposé au raisonnement tant dans les démarches de pensée qu'il met en œuvre que dans les formes d'apprentissage qu'il requiert. Le calcul renvoie à une activité mécanique, automatisable, sans intelligence, il est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l'idée d'entraînement purement répétitif. En bref, le calcul est perçu comme renvoyant aux basses œuvres du travail mathématique, tandis que sa partie noble, celle liée au raisonnement est plutôt associée à la résolution de problèmes géométriques. Cette image, ancrée dans la culture, est aussi portée par l'enseignement. C'est une géométrie synthétique, sans calcul, qui est presque exclusivement mobilisée quand il s'agit d'initier les élèves à la rationalité mathématique, de leur apprendre à démontrer et, lorsque l'on demande à des enseignants quelles sont les fonctions de l'algèbre au collège, la fonction d'outil de preuve n'est généralement pas identifiée. On estime par ailleurs que, si l'on dispose d'instruments pour effectuer la partie mécanisée du calcul, il n'y a plus rien à apprendre puisque le calcul s'y réduit. Le calcul, qu'il soit numérique ou algébrique, est en fait réduit à ses traces et le raisonnement qui le guide reste invisible. Ses résultats sont vus comme des données, ils n'ont pas valeur de preuve.

Il y a, dans l'enseignement, à lutter contre cette vision réductrice du calcul. C'est en particulier nécessaire si l'on veut poser de façon correcte la question de l'instrumentation du calcul par les technologies informatiques.

L’utilisation des calculatrices peut, c’est ce que nous espérons essentiellement montrer au travers des activités proposées, participer pleinement au développement de cette vision dans laquelle calcul et raisonnement se complètent mutuellement.

Longtemps, le "calcul" a occulté d'autres phases essentielles de la résolution de problèmes, au point qu'on a consacré à la pratique intensive des algorithmes la majeure partie du temps réservé à l'enseignement des mathématiques. Si l'objectif de "savoir compter et calculer" est toujours honoré dans les programmes, on lui a adjoint certaines conditions : on le lie à la construction des opérations, au sens qu'on donne à ces opérations et à leurs applications dans les différentes situations qui se présentent. »

2.2.    Calcul exact ou approché

« Le monde du calcul […] est un monde multiforme. C'est aussi un monde où s'entrecroisent deux grands types de calcul: le calcul exact et le calcul approché. Calcul exact et calcul approché sont deux facettes complémentaires du calcul dont les liens se tissent tout au long de son histoire. Il y a là une continuité majeure susceptible d'aider à structurer l'enseignement et nous souhaitons lui accorder une importance toute particulière […]. En fait, l'opposition entre calcul exact et calcul approché dans la culture, renvoie aussi, plus ou moins implicitement, à la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées, et à toutes les hiérarchies de valeurs dont cette distinction a été porteuse. Aujourd'hui cette distinction semble de plus en plus inadaptée car, s'il y a des pratiques mathématiques différentes, elles tiennent plus aux types de problèmes que le mathématicien cherche à résoudre qu'aux objets et aux domaines mathématiques eux-mêmes »[6]

Peut-être a-t-on un peu négligé la part du calcul approché dans nos enseignements ? Là aussi, un usage pertinent de la calculatrice permettrait d’équilibrer la part du calcul exact et celle du calcul approché en insistant auprès des élèves sur la pertinence de telle ou telle approche, sur les avantages et inconvénients respectifs et sur les notations associées.

 

3.    Différents outils de calcul

Pour trouver des résultats aux opérations arithmétiques qu'on a choisi d'effectuer, il existe différents moyens, réunis sous la dénomination générique « d'outils de calcul ».

En plus de la calculatrice, ces outils de calculs sont les répertoires mémorisés, le calcul réfléchi, les algorithmes et l'estimation. Ils sont de natures très différentes, plus ou moins efficaces selon les situations données et susceptibles de générer des difficultés potentielles spécifiques lors de leur utilisation.

Répertoires mémorisés

Les répertoires mémorisés sont les résultats des opérations (sommes, différences, produits, quotients, racines, valeurs trigonométriques) que l'élève connaît par cœur. Ces répertoires s'élaborent au fil des activités, d'abord sous forme d'inventaires plus ou moins organisés (toutes les sommes égales à 0, 1, …, 10, 12, tous les produits égaux à 2, 3, …, 20, … 36, …, 100), puis sont présentés sous forme de tables (tables d'addition, de multiplication, …). En construisant ses propres répertoires, l'élève peut se rendre compte qu'un nombre peut se présenter sous différentes écritures, toutes équivalentes, sous forme de décomposition additive ou multiplicative. C'est à ce stade que peuvent apparaître certaines propriétés des opérations qui seront très importantes dans le calcul réfléchi.

L'apprentissage des tables a longtemps été considéré comme un acte de mémorisation passive. Les recherches sur la mémorisation montrent que si l'apprentissage par cœur n'est pas à négliger (mettre en mémoire des listes de mots-nombres isolés), une mémoire dans laquelle les nombres sont structurés par des relations de parenté est beaucoup plus efficace.

La mémorisation proprement dite est du ressort de l'élève, mais l'enseignant doit collaborer activement à la mise en relation des nombres, à l'organisation des tables, ainsi qu’au contrôle du travail qui y est associé. La mémorisation des tables et leur maîtrise restent indispensables pour que le calcul réfléchi et les algorithmes puissent se construire solidement sur ces bases.

Calcul réfléchi

Le calcul réfléchi s'appuie sur les propriétés du système de numération (décomposition d'un nombre en facteurs des puissances de 10) et sur les propriétés des opérations (associativité, commutativité élément neutre, distributivité de la multiplication sur l'addition / la soustraction, …). La mise en œuvre plus ou moins consciente de ces propriétés dépend de l'âge et des connaissances de celui qui le pratique. Il ne s'agit pas d'appliquer des « trucs » ou des formules toutes faites, mais de choisir la meilleure procédure dans une situation donnée. C'est donc un calcul intelligent, personnel et évolutif. Il se distingue en cela du calcul mental traditionnel.

De plus, le calcul réfléchi ne signifie pas une absence de traces écrites. Elles peuvent être utiles, voire souhaitables, pour soutenir une démarche ou pour mémoriser un résultat intermédiaire. Le calcul réfléchi permet à l'élève de se débrouiller dans un calcul sans avoir à recourir systématiquement aux algorithmes ou à la calculatrice. Les procédures de calcul réfléchi sont là pour lui simplifier la tâche, gagner du temps et de l’assurance. Les limites de ces procédures justifient par ailleurs l'utilisation d'autres techniques opératoires (algorithmes).

Algorithmes de calcul

Un algorithme est une suite finie de règles à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver avec certitude, c'est-à-dire sans indétermination ou ambiguïté, en en nombre fini d'étapes, à un certain résultat, et cela indépendamment des données. Les algorithmes de calcul mettent en œuvre les règles de notre système de numération et les propriétés des opérations.

Pour que l'élève puisse donner du sens aux algorithmes abordés, il faut qu’il en comprenne les propriétés sous-jacentes. En cela, l'emploi en parallèle de matériel peut être particulièrement profitable.

Pour chaque opération, il existe diverses procédures algorithmiques. Pour choisir quel algorithme adopter pour chaque opération à enseigner, on a privilégié à Genève:

  • l’algorithme le plus proche des règles de notre système de numération et des propriétés des opérations,
  • l’algorithme permettant d'associer les actions de l'élève à des transformations du calcul écrit et, par là même, de donner du sens à sa construction.

Ainsi à Genève, sont aujourd’hui enseignés :

  • pour l'addition : l'algorithme en colonnes,
  • pour la soustraction, l'algorithme par échanges,
  • pour la multiplication, l'algorithme en colonnes avec produits partiels,
  • pour la division, l'algorithme par échanges.

Si l'enseignement de certains algorithmes perdure dans le temps, d'autres ont été abandonnés (par exemple l’extraction de racines carrées et l’interpolation pour les tables trigonométriques).

Estimation

L'estimation prend appui sur le calcul réfléchi. C'est même une forme très évoluée du calcul réfléchi, que l'on utilise la plupart du temps de manière très intuitive. Elle est définie comme une procédure personnelle que l'on met en place lorsqu'on prend conscience que l'on peut se contenter d'un résultat approché, d'une estimation, pour fournir une réponse que l’on pourrait obtenir par des opérations effectuées généralement en utilisant un algorithme de calcul ou la calculatrice.

Cette approximation est elle-même le résultat exact d’une opération proche de l'opération de départ par modification des nombres vers une simplification de ceux-ci, résultat que l'on obtient alors par calcul réfléchi (24,9 ´ 6,05 @ 25 ´ 6, c'est-à-dire 150).

Si on explicite ces différents outils de calcul et qu’on effectue un travail spécifique avec chacun d’entre eux, en en fixant les limites et les avantages, on peut espérer permettre aux élèves d’acquérir une certaine aisance et choisir en connaissance de cause l’outil le plus approprié, selon le calcul à effectuer.

 

4.     Des questions

Il est maintenant possible de sérier plus précisément un certain nombre de questions fondamentales lorsqu’on envisage l’utilisation de calculatrices dans un cours de mathématiques :

  • Faut-il encore enseigner l'algorithme de la division, l'addition des fractions, les méthodes d'intégration, etc. alors qu'on peut s'appuyer sur des outils sûrs, rapides et efficaces ?
  • La découverte, l'exploration, la compréhension de certains concepts mathématiques peuvent-elles être favorisées par leur manipulation avec la calculatrice? Autrement dit, qu’apporte-t-elle à un enseignement des mathématiques ?
  • Quand et comment faire intervenir l’outil calculatrice dans ces processus d’enseignement et d’apprentissage ?
  • Plus spécifiquement, est-il possible de faire comprendre certains concepts mathématiques sans passer par la pratique calculatoire (de nombreux enseignants primaires n'osent par exemple pas se lancer dans des problèmes qui font appel à des opérations dont les élèves ne maîtrisent pas encore l'algorithme) ?
  • Quelle articulation entre travail sur le sens et acquisition d’une maîtrise technique ? Ces deux axes doivent-il être travaillés séparément, successivement, conjointement ?
  • Comment évaluer l’impact de la calculatrice ?

Mais des questions plus opérationnelles sont aussi posées:

  • L'apprentissage et l'utilisation de la calculatrice - ou des MITIC - sont-ils de la responsabilité de l'élève ou du maître ?
  • Quelle place leur donner durant les évaluations ? Quel sens cela peut-il avoir de tester des élèves sur des compétences techniques prises en charge par ces outils ?
  • Comment former les enseignant-e-s à une utilisation raisonnée ?
  • Quelle formation initiale et continue aux MITIC pour les enseignant-e-s ?

Ce qui revient finalement à une question formulée simplement (mais dont la réponse ne l’est certainement pas !) : comment intégrer ces outils de façon efficace dans l'enseignement des mathématiques ?

 

5.     Quelques arguments en faveur de son utilisation

Relevons ici les arguments les plus souvent mis en avant pour justifier l’utilisation de la calculatrice dans les cours de mathématiques :

  • Cela entraîne plus de motivation chez les élèves, tant pour les plus forts que pour les plus faibles. Les premiers peuvent ainsi aborder des problèmes plus stimulants en sous-traitant les parties techniquement difficiles ou longues à la machine, les seconds dépasser d’éventuels blocages « psychologiques » (par exemple devant le calcul algébrique) et utiliser la calculatrice soit pour contourner leurs difficultés, soit pour traiter des énoncés qui amènent plus de sens[7] ;
  • on valorise dans le cadre scolaire la maîtrise de certains outils technologiques acquise par des élèves hors de l’école ;
  • on contribue à développer un esprit critique par rapport à l’emploi de la technologie ;
  • cela participe – lorsqu’un travail spécifique est entrepris – à la compréhension de certains concepts mathématiques (dissociation du nombre de sa graphie, représentation des nombres, explicitation de certaines notations identiques utilisées dans des contextes différents, travail autour des grands et petits nombres, …) ;
  • on possède ainsi un excellent outil pour encourager les élèves à essayer pour produire des conjectures (production de nombreux essais à coût moindre), donc à pratiquer pleinement la démarche scientifique : explorer, rechercher, découvrir, raisonner, conjecturer, argumenter, infirmer, valider, démontrer ;
  • on augmente le champ des situations possibles et leur variété, tant dans des contextes connus, qui peuvent être abordés sous de nouveaux angles, que pour en découvrir de nouveaux ;
  • on aborde de nouveaux champs d’étude et des concepts nouveaux (statistiques, simulation, estimation, calcul approché, algorithmique) qui ont désormais une grande place dans le monde scientifique ; 
  • on autonomise le travail ;
  • on autorise plus de créativité.

 

6.     Quelques arguments en défaveur de son utilisation

Contradictoirement, d’autres avancent également des arguments en défaveur d’une utilisation de la calculatrice en classe :

  • Il y a un risque de masquer des lacunes quant à la maîtrise des techniques de base indispensables pour la bonne suite des études et pour les mathématiques sociales ;
  • on perd trop de temps, sur les heures dédiées à l’enseignement des mathématiques, pour arriver à une maîtrise correcte de l’outil ;
  • il y a un risque que les manipulations techniques écrasent certaines représentations possibles de concepts mathématiques ;
  • on investit du temps pour acquérir des compétences qui évoluent très vite ;
  • qu’en est-il du coût financier induit par l’achat de ce matériel, tant pour la collectivité que pour les élèves (en cas de perte ou casse) ? Est-ce vraiment une priorité d’investir dans cette direction ?

 

7.     Que conclure ?

1.6.1.     Trouver le bon équilibre

Il n’y a certainement pas de règle absolue et définitive du type « la calculatrice est à bannir » ou « elle est LA solution ! » ! Ce qui paraît par contre certain, c’est qu’elle est aujourd’hui bel et bien présente dans le paysage scolaire et qu’il s’agit de la prendre en compte. Les élèves en disposent et l’utilisent ! On peut décréter que cet usage est de leur responsabilité exclusive, mais il nous paraît qu’une réelle plus-value potentielle aux enseignements et aux apprentissages ne sera réalisée qu’à travers une utilisation clairement et explicitement cadrée par les enseignants. Selon le sujet abordé, la méthodologie choisie et les objectifs visés, l’enseignant-e devra se questionner :

  • Pourquoi la calculatrice ici ?
  • Dans quel(s) rôle(s) ?
  • Quand (en introduction, après l’enseignement, en procédant par allers-retours …) ?
  • Comment ?
  • Quels avantages en attend-t-on ?
  • Quel investissement cela nécessite-t-il, par exemple pour explorer et faire maîtriser la « simple » manipulation de certaines fonctions de la machine ?
  • Quels risques éventuels aussi, par exemple celui que l’élève croie pouvoir se reposer sur la machine et désinvestisse ses apprentissages ?
  • Quelle évaluation ?

Finalement, ce qu’on pourrait souhaiter c’est d’assister à une évolution dans laquelle les pratiques actuelles - un outil auquel on assigne un type unique d’utilisation (exécuter) souvent entièrement déléguée aux élèves – se voient enrichies de la vision d’un véritable outil pédagogique dont l’usage doit être clairement et explicitement piloté par l’enseignant-e ; sans chercher à opposer utilisation de la calculatrice et maîtrise de savoirs de base, mais bien plutôt en faisant en sorte que la seconde puisse s’appuyer sur la première.

1.6.2.         Travailler sur la durée

La recherche en didactique des mathématique et les expériences dans les classes montrent qu’il est illusoire de penser qu’on peut déléguer aux seuls élèves la responsabilité de développer leur rapport à la calculatrice pour qu’elle devienne l’un des outils qu’ils pourront raisonnablement choisir d’utiliser lorsqu’ils pratiqueront les mathématiques, en ayant conscience de ses avantages et limites. Un travail spécifique et explicite des enseignant‑e‑s  doit être fait sur la durée pour construire cette représentation.   C’est pourquoi, au delà d’activités isolées, nous proposons également des parcours (voir 4.1.3) qui, sur un cycle scolaire – la 5-6ème EP, la 7-9 du CO et les degrés 10-11 du PO – devraient permettre aux maîtres d’envisager globalement la place à donner à la calculatrice tout au long de l’année.

 

 

8.    Quelques recommandations

Pour ce faire, plusieurs conditions nous paraissent devoir être réunies :

 

Identifier beaucoup plus clairement – sur tout le cursus d’un élève, probablement par cycles d’apprentissage de deux ou trois ans [8] - les connaissances de base qui sont du domaine des répertoires mémorisés et qui sont indispensables pour la poursuite des études[9],sans pour autant réduire les enseignements de mathématiques à leurs uniques apprentissages. Parallèlement, clarifier également les compétences attendues en termes de maîtrise de l’outil calculatrice.

  • Investir l’usage – plutôt les usages – de la calculatrice d’un regard professionnel et explicite, par exemple en déterminant les situations[10] où la calculatrice :
    • doit être proscrite
      •  quand la leçon ou l’évaluation vise - à tous les niveaux - l’entraînement de procédures (numériques ou littérales).
    • est utile
      • pour que les élèves puissent contrôler leurs résultats en travail autocorrectif ;
      • pour différencier l’enseignement (peut être utilisée par certains élèves et pas par d’autres, peut être utilisée à certains moments et pas à d’autres, …) ;
      • quand on veut que les élèves réussissent à résoudre des problèmes, faisant appel par exemple à la modélisation d’une situation, en pouvant « essayer » des calculs « pour voir ».
    • est nécessaire
      • quand on veut introduire ou stabiliser de nouvelles opérations que les élèves ne maîtrisent pas sur le plan technique, ou pour travailler le sens d’une notion sans le confondre avec des techniques (algorithmes) qui lui sont associées ;
      • pour que les élèves s’interrogent sur des phénomènes mathématiques et aient envie d’en connaître la raison, allant si possible jusqu’à une démarche démonstrative. Ils entrent alors dans des démarches de mathématiques expérimentales, où de nombreux essais permettent d’émettre des conjectures.
    •  est indispensable
      • avec des élèves en grande difficulté pour qu’ils ne renoncent pas d’avance à résoudre un problème à cause de problèmes de calcul ;
      • quand on travaille une notion pour laquelle la connaissance technique n’est pas au programme ou qui nécessiterait le recours aux tables numériques (extraction de racines, calcul de rapports trigonométriques, logarithmes, …).

 

  • Expliciter les différents contextes d’utilisation de la calculatrice

De même qu’il existe différents types de calculs, on peut distinguer les différents contextes dans lesquels peuvent être les calculatrices :

RECHERCHER/EXPLORER : l’élève aborde des notions mathématiques nouvelles ou les travaille sous un angle qu’il ne connaît pas encore ; la calculatrice permet de découvrir, de conjecturer, de produire et d’effectuer des calculs à interpréter, … Elle participe à l’expérimentation et au processus de compréhension.

Exemples :

  • activité 01
  • boîtes noires à décrypter
  • fractions continues au PO

APPROFONDIR/CONCEPTUALISER  l’élève approfondit des notions mathématiques déjà abordées afin d’améliorer sa compréhension du concept ou de la technique utilisés. C’est aussi l’occasion de d’aiguiser son sens critique.

Exemples :

  • activité 08
  • étude des propriétés des suites de nombres

EXECUTER : l’élève est dans un contexte de mathématiques connues, la machine exécute des tâches acquises mais fastidieuses, longues ou répétitives en se substituant à un autre outil de calcul.

Exemples :

  • la multiplication en 2 EP, le logarithme en 11 PO) quelle différence entre ces deux puces ?
  • sous-traiter les calculs acquis mais complexes, longs ou répétitifs (ex : démonstration par exhaustion lors de situations comportant un nombre fini de cas [recherche de facteurs premiers 7-8 CO])

VERIFIER : la calculatrice permet de vérifier une estimation ou un calcul effectué à l’aide d’un autre outil (de tête, à la main, …).

Exemples :

  • activité 02
  • estimation d’un résultat
  • Prendre en compte les réalités du terrain, en particulier les difficultés potentielles rencontrées par les enseignant-e-s. Historiquement, et aujourd’hui encore, on doit constater que ces machines ont été mises à disposition sans que leur statut soit clairement établi dans la continuité par l’institution scolaire, en déléguant aux maîtres la responsabilité de leur utilisation (ou non !), sur la base des quelques éléments figurant dans les PE et ME. A l’EP, le statut de la calculatrice est celui d’un outil de calcul parmi les autres, alors qu’au CO un thème entier du plan d’études lui est consacré - au même niveau que l’initiation au raisonnement et à la recherche ! Au PO, quasi aucune mention de cet outil et de son statut. Bien sûr, quelques formations ont été proposées (voir imposées), mais l’impact réel sur le terrain reste extrêmement faible. Une intégration réussie ne se fera qu’en emportant la conviction des maîtres. Des exemples concrets des apports possibles de ces outils pour la pédagogie font souvent défaut, sauf dans les moyens d’enseignement du CO (les MERM). Espérons que cette brochure et les offres de formation qui l’accompagnent participeront à l’amélioration de cette situation.

è      Exploiter les dispositifs existants et futurs  favorisant l’intégration de l’enseignement avec  calculatrice (calculatrice transparente pour la rétroprojection, élève sherpa[11], écrans interactifs).

1.6.4.    Perspectives d’avenir

Tout ce travail devra également se faire en étant attentif aux inévitables développements en cours ou à venir de ces outils et en anticipant les évolutions qui à leur tour ne manqueront pas de venir interroger les pratiques actuelles :

q       L’arrivée prochaine d’outils de base intégrant des possibilités graphiques (les calculatrices graphiques sont explicitement mentionnées dans de nombreux PE et programmes de pays environnants). Cela aura immanquablement un impact important sur le domaine de l’étude des fonctions, dès les premiers degrés (représentations graphiques possibles, facilitation d’une vision « dynamique » des mathématiques, …) ;

q       L’émergence d’outils spécifiques proposés par les constructeurs pour accompagner l’utilisation pédagogique de leurs produits de base ;

q       La possibilité pour le maître de programmer des calculatrices de base pour proposer des activités spécifiques aux élèves (problèmes de type « boîte noire », détournement de certaines fonctions, …) ;

q       La baisse des coûts des calculatrices symboliques et graphiques (CAS), qui permettent d’effectuer des manipulations formelles (factorisation, dérivées, …) et dont l’impact sur les enseignements sera probablement important[12].


2.   Propositions d’activités



[1]  TPG : Transports Publics Genevois

[2] MITIC : Médias-Images et Technologies de l’Information et de la Communication

[3] L'exemple le plus connu est certainement celui de la démonstration du théorème des 4 couleurs. Il s’agit de démontrer que toute carte qui comprend des zones séparées par des frontières peut être coloriée avec seulement 4 couleurs différentes de telle sorte qu’aucunes zones de mêmes couleurs ne se touchent. En 1989, K. Appel et W. Haken ont montré - en reprenant des travaux antérieurs – qu’il fallait finalement considérer 1482 cartes critiques qu'il suffisait de traiter une par une, travail qui a été réalisé par ordinateur. Cette démonstration a donné lieu à un long débat dans la communauté des mathématiciens. Comment vérifier ce que fait l'ordinateur ? Est-ce équivalent à une démonstration humaine ? Doit-on la valider ? Depuis lors, les techniques de "preuve par ordinateur" se développent et ont fait évoluer ce qui est accepté comme preuve. Une exigence est par exemple que le résultat ait été obtenu indépendamment au moins deux fois.

[4] Voir par exemple http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein.

[5] A la demande des associations de mathématiciens (APMEP, SMAI, SMF et UPS), le ministère français de l’éducation a donné mission en avril 1999 au professeur Jean-Pierre Kahane de réunir un groupe d'enseignants et de chercheurs pour conduire une réflexion globale et à long terme sur l'enseignement des mathématiques de l'école élémentaire à l'université. Plusieurs rapports ont été rédigés, sur  la géométrie, le calcul, les outils informatiques, les statistiques et probabilités, la formation des enseignants (voir http://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane)

[6] Rapport Kahane sur le calcul, p.9 (http://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane/)

[7] Voir « Donner du sens aux mathématiques », Dominique Nancy, mars 2000, http://www.forum.umontreal.ca/numeros/1999-2000/Forum00-03-06/article02.html

 

[8] Par exemple 1-2EP / 3-6EP / 7-9CO / 10-11PO

[9] Par exemple les tables d’addition et de multiplication à l’EP, les carrés parfaits au CO, certaines valeurs trigonométriques au PO

[10] Laura Weiss, MathEcole 215

[11] Si dans une classe tous les élèves disposent d’un outil de calcul personnel, on peut parfois grâce à un dispositif technologique adéquat permettre à tous de voir ce qui se passe chez un élève particulier, qui est alors appelé «élève sherpa ». Cette terminologie est en particulier pratiquée par Luc Trouche avec des TI89 (Trouche 1998). On peut imaginer de pouvoir bientôt le faire avec de « simples » calculatrices.

[12] Plusieurs expériences ont eu lieu ces dernières années, en particulier dans des collèges, mais on n’a pas encore porté de regard rétroactif pour les évaluer et estimer de quelle façon ces outils influent sur les enseignements et les apprentissages.

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