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Découpage, objectifs par chapitre, liens avec le programme officiel

3e année niveau normal

Titre

NB sem

Savoirs fondamentaux
[nécessaire pour la suite des études / traités dans les semestrielles]

Lien avec programme officiel

Limites et dérivées 14

Introduction à la notion de limite

  • infini(s) ; définition intuitive de limite ; limites à droite et à gauche ; approche graphique ;

Limites de fonctions élémentaires

  • théorème [limites de fonctions élémentaires] et théorème [propriétés des limites], sans démonstrations; calculs de limites avec ces théorèmes ;

Limites infinies et en l'infini

  • limites de type 1/0 ; calculs par limites à gauche et à droite ; interprétation graphique ;

  • algèbre de l'infini ; application aux calculs de limites ;interprétation graphique

Indéterminations

  • notion d'indétermination ; différents types d'indéterminations ;

  • calculs de limites indéterminées :

    • type 0/0 polyn par factorisation/simplification ;

    • type 0/0 avec racines par multiplication par le conjugué ;

    • type "infini/infini" ou "infini-infini" par mise en évidence forcée ;

  • interpréter graphiquement un résultat de calcul de limite ; lire ou estimer une limite d'après une représentation graphique ;

    représenter graphiquement une fonction qui doit respecter certaines conditions

Introduction à la notion de dérivée

  • taux de variation ;

  • dérivée en un point (nombre dérivé): définition, calculs ;

  • interprétation géométrique comme pente de tangente ;

Fonction dérivée

  • fonction dérivée : définition ;

  • calculs de dérivées de fonctions élémentaires avec la définition ;

  • équation de la tangente ; théorème sur l'équation de la tangente ;

  • lien graphique entre f et f ' ;

Formules de dérivation

  • formules de dérivation, y compris dérivées de fonctions composées : utilisation efficace (démos seront vues plus loin)

Relation entre « extremum de f » et « zéro de f' »

  • extrema (min/max) local et global, point critique : définitions et interprétation graphique ;

  • relation entre « extremum de f et "zéro de f ' » : énoncer et utiliser (démo facultative)

Relation entre «(dé)croissance de f » et «signe de f' »

  • croissance/décroissance sur un intervalle : définitions et interprétation graphique ;

  • relation entre «(dé)croissance de f et "signe de f ' » (= corollaireAF) : énoncer et utiliser (démo facultative)

    • théorèmes « image d'un fermé » et de Rolle : énoncer, avoir compris la démonstration, discuter les hypothèses (facultatif)

    • théorème AF : énoncer, démontrer, discuter les hypothèses ; applications (facultatif)

    • (dé)croissance d'une fonction sur un intervalle : définitions et interprétation graphique (facultatif)

    • corollaire du théorème des accroissements finis [relation entre «(dé)croissance de f et "signe de f '] : énoncer, démontrer ; applications (facultatif)

  • tracer une représentation graphique d'une fonction vérifiant des conditions données ;

  • avancés ou facultatif en normal : convexité, concavité ; points d'inflexion ; relation entre «convexité/concavité de f et "signe de f '' » ;

Applications de la dérivée»

  • problèmes d'optimisation

  • asymptotes verticales, horizontales

  • asymptotes obliques (facultatif)

  • étude de fonction rationnelle.

Limite, continuité et comportement asymptotique

  • Calculer des limites simples : détermination de nombres dérivés et d'asymptotes

  • Maîtriser graphiquement la continuité d’une fonction en un point

Dérivée et taux de variation

  • Interpréter graphiquement la dérivée en un point (équation de la droite tangente, approximation du premier ordre)

  • Calculer les dérivées des fonctions élémentaires à partir de la définition de la dérivée

  • Maîtriser les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition de fonctions)

Étude de fonctions

  • Utiliser la relation entre le signe de la dérivée et le sens de variation

  • Résoudre des problèmes d'extrema

Dérivation suite 6

 Continuité

  • approche intuitive de la continuité en un point, sur un intervalle ;

  • définition mathématique de la continuité en un point, sur un intervalle ;

  • théorème « relation continuité-dérivabilité en a » et sa réciproque ;

  • interpréter graphiquement la (non)continuité en un point ;

Formules de dérivation

  • démonstration de (f+g)', (fg)' et (1/f)' ; démonstration de la dérivée de la composée facultative

Limites et dérivées trigonométriques

  • La fonction f définie par f(x)=sin(x)/x : propriétés, représentation graphique ; limite en 0 (énoncer et démontrer), utiliser pour des calculs de limites trigonométriques ;

  • dérivées de sin, cos et tan ; dérivées de fonctions trigonométriques 

 

  • Faire le lien entre dérivabilité et continuité

  • Connaître la démonstration de quelques théorèmes (par exemple: Rolle, Lagrange, extremum)

Décembre pour semestrielle : objectif minimal = calcul de limites sans trigo, dérivées, optimisation, étude de fonction

Fin janvier

Géométrie vectorielle 7

Vecteurs, opérations

  • notion de grandeur scalaire ou vectorielle, de vecteur : direction, sens et longueur; égalité entre deux vecteurs ; opérations de base : addition, multiplication par un scalaire, soustraction ;

  • représenter graphiquement des vecteurs, effectuer des opérations entre eux de façon géométrique ; représenter graphiquement la somme, la différence de deux vecteurs du plan, le produit d'un vecteur du plan par un scalaire

Colinéarité, combinaisons linéaires

  • colinéarité ; combinaison linéaire de vecteurs ;

  • déterminer – graphiquement et algébriquement - si un vecteur est ou pas combinaison linéaire de vecteurs donnés; si oui, déterminer cette combinaison linéaire ;

Les vecteurs pour démontrer

  • démontrer des propriétés géométriques grâce aux vecteurs ;

Vecteurs en composantes

  • coordonnées d'un vecteur dans un repère dans le plan, dans l'espace ; vecteur entre deux points ;

  • calculer la somme, la différence de deux vecteurs, le produit d'un vecteur par un scalaire ;

  • expression pour la norme ; vecteur unité ; déterminer un vecteur unitaire colinéaire à un vecteur donné ;

Equations vectorielles

  • vecteur directeur d'une droit, d'un plan

  • équation vectorielle, paramétrique et cartésienne d'une droite du plan ;

  • équations vectorielles, paramétriques et cartésiennes d'un plan et d'une droite de l'espace ;

    • déterminer l'équation vectorielle et cartésienne d'une droite à partir de deux points/un point ;

    • déterminer l'équation vectorielle et cartésienne d'un plan à partir de trois points/un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires ;

    • déterminer l'équation vectorielle d'une droite à partir de deux points/un point et un vecteur directeu

Produits
  • produit scalaire entre deux vecteurs / test d'orthogonalité / calcul d'angle
  • vecteur projection sur la direction d'un vecteur donné
  • vecteur normal d'une droite, d'un plan
  • équation vectorielle et cartésienne d'une droite dans le plan avec vecteur normal et point
  • équation vectorielle et cartésienne d'un plan dans l'espace avec vecteur normal et point
  • produit scalaire : déf, propriétés, thm, utilisations

 

Vecteurs
  • Vecteurs du plan et de l’espace
  • Connaître la définition d’un vecteur

  • Maîtriser les opérations sur les vecteurs

Droites et plans

  • Établir les équations des droites et des plans

  • Déterminer les traces et calculer les intersections

Produit scalaire

  • Connaître la définition et les propriétés du produit scalaire

  • Calculer des longueurs, des angles, des distances et des aires

  • Déterminer l’équation de sous-ensembles particuliers (par exemple: hauteur et médiatrice d’un triangle, tangente à un cercle, plan tangent à une sphère)

Combinatoire 3
  • bonnes pratiques : décomposer une expérience globale en étapes successives disjointes; représenter sous forme d'arbre ou de tableau, règle du produit, travailler avec la "question complémentaire" si cela est plus simple
  • factorielles, permutations, arrangements, combinaisons
  • résoudre des problèmes de combinatoire

Analyse combinatoire

  • Maîtriser les notions de permutations, d’arrangements et de combinaisons

Probabilités 5 Probabilités
  • Notions d'expérience aléatoire, d'événement aléatoire élémentaire ou non, d'univers, d'événements disjoints (incompatibles)
  • Ensemble probabilisé fini, fini équiproblable : axiomes, exemples, théorèmes
  • -> avancés : différence avec un ensemble probabilisé infini dénombrable, infini continu

Conditionnelles et indépendance

  • Probabilité conditionnelle : définition, exemples
  • Indépendance de 2 événements aléatoires : définition, exemples, théorème

Statistique descriptive

  • Représenter, interpréter et résumer les données d’une série statistique

Épreuve aléatoire

  • Connaître et utiliser les définitions (issue, univers, événement, ....)

Axiomes des probabilités •

  • Connaître et utiliser ces axiomes et les théorèmes qui en découlent

Probabilité conditionnelle •

  • Déterminer l’indépendance ou la dépendance de deux événements

  • Utiliser le théorème de Bayes

 

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