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Descriptif du contenu du manuel Degré 12 (1e PO collège)
Version 2010
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Chapitre 1: Calcul numérique
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Objectifs
- Mini-ch pour s'habituer au type de document avec lequel on va travailler cette année
- Dès le départ, se mettre dans une position active et non passive
- Revoir
des notions déjà abordées, mais en portant un regard potentiellement
différent (texte littéraire, notions historiques ou d'astro, pbs de
réflexion, ...)
- Ne
travailler qu'avec des entiers (sauf petites exceptions), sans utiliser de variables: on les garde pour le ch2...
- comprendre l'importance et l'utilité de notations appropriées, ainsi que d'un vocabulaire précis
- aborder des aspects culturels et d'histoire des mathématiques
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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Les
nombres entiers naturels et relatifs.
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La
différence entre chiffre et nombre.
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Nommer,
manipuler et représenter des grands nombres - limitations
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L'ordre
des opérations, parenthèses
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Le
vocabulaire lié aux opérations, différencier une opération de
son résultat.
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Le
nom des grands nombres.
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La
calculatrice ne permet pas de représenter tous les entiers
naturels.
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Avoir
conscience du temps historique qui a été nécessaire pour mettre
en place de tels concepts, outils, notations,...
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Savoirs-faire
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Identifier
des nombres entiers naturels et relatifs.
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Déterminer
l'opposé d'un entier.
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Différencier
addition/somme, soustraction/différence, multiplication/produit
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Gérer
des calculs complexes (parenthèses imbriquées et ordre des
opérations).
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Manipuler
des puissances de 10.
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Nommer,
manipuler et comparer des grands nombres.
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Estimer
une puissance de 2 en une puissance de 10 ().
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Interpréter
une pyramide de puissances.
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Utiliser
la calculatrice pour des calculs élémentaires.
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Complément indépendant
- Travail comparatif sur différents systèmes de numération (pdf - odt)
Ch2: Des nombres aux lettres
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Objectifs
- Expliciter le passage entre calcul numérique et calcul
littéral, en rendant attentif l'élève aux nombreuses difficultés
implicites que cette étape vers un niveau d'abstraction supplémentaire
génère
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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- passer des nombres aux lettres mérite réflexion et explicitation
- une lettre ne représente pas forcément un nombre, même si c'est très souvent le cas!
- les mathématiques proposent différents niveaux d'abstraction
- souvent, c'est le contexte qui suffit à comprendre quel type de nombre est susceptible d'être représenté par une lettre
- variable, constante, expression
- nombres pairs/impairs, multiples
- essayer une approche algébrique ou géométrique pour résoudre un problème
- intégrer l'importance du contexte et des hypothèses implicites pour interpréter correctement un énoncé mathématique
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Savoirs-faire
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- transformer en langage algébrique des informations données en français
- écrire en français une expression mathématique
- modéliser un problème grâce à une(des) expression(s) littérale(s)
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Ch3: Argumenter
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Objectifs
- Aborder la justification mathématique et le vocabulaire qui va
avec: axiome, définition, conjecture, contre-exemple, démonstration,
théorème
- Travailler l'écriture si ... alors et certaines notions logiques, dont la réciproque et la contraposée
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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Les
principes de la constructions mathématiques : axiomes –
définition – conjecture – démonstration – théorème.
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Le
principe du tiers exclus.
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La
structure d'une conjecture : hypothèses, conclusions.
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Tenir
compte des hypothèses implicites.
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La
structure d'une démonstration si la conjecture est vraie, si la
conjecture est fausse.
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Le
lien de véracité entre une conjecture et sa contraposée ;
l'absence d'un tel lien entre la conjecture et sa réciproque.
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Savoirs-faire
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- Maitriser le voc et les notations relatives
- Ecrire une conjecture sous forme "si ..., alors ..." afin d'éviter de mauvaises interprétation
- Identifier hypothèses et conclusions
- Démontrer qu'une conjecture est fausse en exhibant un contre-exemple
- Démontrer qu'une conjecture est vraie en produisant une démonstration
- Enoncer des réciproques/contraposées
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Ch4: D'autres nombres
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Objectifs
- Revoir de nombreuses notions numériques déjà vues, consolider ce qui doit l'être et approfondir.
- Porter un regard différent: en demandant plus de justifications, via une approche historique, en utilisant la calculatrice
- Sujets abordés:
- ppcm, pgcd
- Maîtriser le calcul avec des fractions (opérations, simplification, amplification)
- Résoudre des problèmes de proportionnalité
- Résoudre des problèmes de proportionnalité intégrant plus de deux variables
- Division euclidienne avec reste
- Nombres rationnels
- Transformer un nombre rationnel en fraction et réciproquement
- Définitions des puissances
- Ecriture scientifique
- Propriétés des puissances
- Définitions de racine carrée
- Propriétés des racines carrée
- rac(2) n'est pas une fraction
- poursuivre le travail sur la construction mathématique : définition, conjecture, démonstration, théorème, contre-exemple
- modéliser
- aborder des aspects culturels et d'histoire des mathématiques
- manipuler efficacement la calculatrice
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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- ppcm, pgcd, division euclidienne, quotient, reste
- différence
entre un problème à deux données proportionnelles et un problème dans
lequel plus de données sont reliées proportionnellement
- fractions, numérateur, dénominateur, amplifier, simplifier
- différence et relation entre fraction et nombre rationnel
- période
- la longueur d'une période est toujours finie mais peut être très grande
- avoir compris pourquoi quand on associe un nombre rationnel à une fraction, la période est forcément finie ou infinie périodique
- puissances entière positive, nulle et négative : définitions, théorèmes, calculs à la main et avec calculatrice
- racine
carrée d'un nombre: définition précise, savoir et si possible avoir compris pourquoi la racine carrée d'un nombre
n'est pas un ensemble de deux valeurs (opposées), mais seulement la
valeur positive
- il existe des nombres non rationnels, par exemple racine de 2
- relation entre nombres entiers naturels, entiers relatifs, nombre rationnels et nombres réels
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Savoirs-faire
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- résoudre des problèmes de proportions
- savoir traiter des problèmes ou plus de deux données varient proportionnellement
- réduire en fraction en fraction irréductible, à la main et à la machine
- simplifier, amplifier une fraction
- opérations sur les fractions
- associer un nombre rationnel à une fraction
- associer une fraction irréductible à un nombre rationnel
- puissances entière positive, nulle et négative : calculs à la main et avec calculatrice
- racine carrée
- calculs à la main et avec calculatrice
- simplifier une racine carrée
- réduire les fractions en fractions irréductibles
- extraire les facteurs carrés
- modifier
l'écriture d'une expression qui contient une racine carrée au
"dénominateur" pour qu'elle n'en ait plus qu'au "numérateur"
- multiplier par le conjugué
- thm: racine de deux ne peut pas s'écrire comme une fraction
énoncer et démontrer
- Pi : définition
- savoir choisir le bon outil entre calcul à la main ou avec calculatrice, de tête ou posé, approché ou
exact, ...
- savoir utiliser correctement la calculatrice, en évitant les arrondis intermédiaires et en utilisant les mémoires
- employer une notation appropriée pour un résultat exact (=) ou un résultat approché (≅)
- savoir arrondir au 10ème, 100ème, ...
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Ch5: Ensembles
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Objectifs
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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- ensemble
- élément d'un ensemble
- inclusion entre ensembles
- ensemble vide
- opérations entre ensembles: union, intersection et différence
- diagrammes de Venn
- ensembles de nombres: entiers naturels, relatifs, nombres rationnels, réels
- inégalités
- intervalles (ouverts, fermés)
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Savoirs-faire
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- utiliser les bonnes notations ensemblistes
- union, intersection, différence, inclusion : définition, représentation, résultats dans les cas d'ensembles de nombres
- connaître les ensembles de nombres, lesquels sont inclus dans lesquels
- représenter des nombres dans des diagrammes de Venn
- représenter des intervalles réels sur la droite réelle
- représenter le résultat d'opérations entre intervalles sur la droite réelle
- traduire du français vers des notations ensemblistes et vice-versa
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Chapitre 6: Calcul algébrique
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Objectifs
- savoir manipuler les expressions algébriques
- comprendre la différence entre développer (en termes) et factoriser (en facteurs)
- maîtriser les techniques de développement et de factorisation
- comprendre pourquoi on essaye souvent de factoriser des expressions
Compétences attendues à la fin du chapitre
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Savoir définir/justifier/illustrer
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- somme - produit ; termes -facteurs ; factorisation - développement
- distributivité et mise en évidence
- outils pour développer
- outils pour factoriser
- pourquoi on factorise
- les identités remarquables comme des théorèmes qu'on sait démontrer
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Savoirs-faire
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Dans ce chapitre
- distinguer somme et produit
- repérer les termes et les facteurs
- maîtriser les outils de développement et de factorisation
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La suite en cours d'élaboration...
Chapitre 7: Equations
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Objectifs
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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- équation et identité
- solution, résoudre, ensemble de solution
- équations équivalentes
- théorème sur les équations équivalentes
- Méthodes de résolution des équations de degré 2 : cas x^2=a/factorisation/complétion du carré/formule de Viète
- problèmes conduisant à des équations de degrés 1 ou 2
- factoriser pour se ramener à des problèmes connus
- * équations paramétriques
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Savoirs-faire
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- déterminer si un nombre est solution ou non d'une équation donnée
- maîtriser les techniques de résolution de différentes familles d'équations :
- degré 1
- degré 2 : par factorisation, par cas particulier x2=a, par complétion du carré, en utilisant la formule de Viète
- degrés supérieurs se ramenant par factorisation à la résolution d'équations de degrés 1 ou 2
- * équations paramétriques simples
-
savoir reconnaitre à quelle famille d'équation (degré 1, de degré 2, rationnelle, ...) appartient une équation donnée
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Chapitre 8: Des égyptiens à Thalès
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Objectifs
- aborder la géométrie euclidienne par l'histoire
- maîtriser le(s) théorème(s) de Thalès : approche
mathématique (théorèmes, démonstrations, réciproques) et en termes de
problèmes à résoudre
- approfondir l'étude de la construction mathématique : axiome, définition, conjecture, démonstration, théorème, hypothèse , conclusion, contre-exemple, réciproque, si ... alors, si et seulement si
- clarifier le statut d'une figure ou d'un schéma en mathématique
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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différentier
l'objet géométrique (angle, segment, surface) de sa mesure (un
nombre positif: longueur, aire)
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statut
d'une figure, d'un schéma en mathématiques : on représente
approximativement une réalité idéale; attention de ne pas en
tirer de conclusions hâtives ...
-
"naissance"
de la géométrie en Égypte, au bord du Nil, sur des bases déjà
présentes en Mésopotamie, puis développement dans le bassin
méditerranéen et émergence de la construction mathématique et de
la démonstration
-
où,
quand, quoi ?
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civilisations
: Mésopotamie, Égypte, Grèce
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personnage
historique : Thalès
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figures
du plan (carré, rectangle, losange, ...) et calculs d'aires
-
notions
fondamentales : point, plan, droite
-
définitions
et notations des objets géométriques de base du plan: droites,
demi-droites, angles, segments, triangles
-
pour
les triangles : sommets, côtés, longueurs des côtés
-
angles
particuliers : angles plats, pleins, droits, supplémentaires,
complémentaires, opposés, correspondants, alternes-internes
-
triangles
particuliers : isocèle, équilatéral, rectangle
Et toujours...
- hypothèse et conclusion,hypothèse(s) implicite(s)
- réciproque
d'une conjecture, d'un théorème; relation entre une conjecture et sa
réciproque : pas de lien entre la véracité de l'une et de l'autre
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Savoirs-faire
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calculer
des aires simples et par découpages
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théorèmes
à savoir énoncer et démontrer: Thm « AnglOpp », Thm
« AnglALT-INT », Thm « Somme180 », Thm
« HAU », Thm « EUC », Thm « cercle de
Thalès », 2x Thm « Aires triangle », Thm
« Thalès »
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théorèmes
à savoir énoncer et acceptés sans démonstration: Thm « RecTHA »
-
résoudre
des problèmes de géométrie à l'aide des outils disponibles, en
particulier avec le théorème de Thales et sa réciproque
-
interpréter
des textes historiques en suivant les calculs proposés
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Chapitre 9: De Pythagore à Euclide
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Objectifs
- poursuivre notre découverte de la géométrie euclidienne par les grandes figures historiques
- maîtriser le théorème de Pythagore: approche mathématique
(théorèmes, démonstrations, réciproques) et en termes de problèmes à
résoudre
- aborder la construction géométrique axiomatique d'Euclide; pouvoir démontrer quelques résultats simples dans ce contexte
- les droites remarquables du triangle: bissectrices/médiatrices/médianes/hauteur
- Niveau A: manipuler le logiciel GeoGebra pour construire des figures géométriques et conjecturer
- et
toujours: approfondir l'étude de la construction mathématique : axiome,
définition, conjecture, démonstration, théorème, hypothèse, conclusion,
contre-exemple ...
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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Situer
les parcours de Pythagore (et son école pythagoricienne) et
d'Euclide; l'importance des « Elements »
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Incommensurabilité
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Triangles
isométriques
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Cas
d'isométrie CCC, CAC et ACA; les autres « cas » ne
suffisent pas ...
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Bissectrice
d'un angle, médiatrice d'un segment, hauteurs d'un triangle,
médianes d'un triangle, droites remarquables du triangle, cercle
inscrit et circonscrit
Et toujours...
- hypothèse et conclusion,hypothèse(s) implicite(s)
- réciproque
d'une conjecture, d'un théorème; relation entre une conjecture et sa
réciproque : pas de lien entre la véracité de l'une et de l'autre
- l'exemple des « Elements » avec leur construction en axiomes ou notions communes/postulats ou demandes/définitions/théorèmes
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Savoirs-faire
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- Résoudre
des problèmes à l'aide des théorèmes de Thales et Pythagore
(et/ou de leurs réciproques)
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Enoncer,
démontrer, utiliser à bon escient:
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Enoncer
et utiliser à bon escient:
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Utiliser
ces théorèmes pour démontrer de nouveaux résultats
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Chapitre 10: Cercles
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Objectifs
- réviser les notions liées au cercle
- ajouter deux nouvelles notions: angles au centre et inscrits et les théorèmes relatifs
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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cercle,
centre, rayon, disque, sécante, tangente à un cercle, diamètre,
arc de cercle, secteur de disque
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angle
inscrit dans un cercle, angle au centre
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Savoirs-faire
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déterminer
des angles dans des cercles
-
savoir
énoncer et démontrer:
-
résoudre
des problèmes en utilisant les outils ad-hoc
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Chapitre 11: Trigonométrie dans le triangle rectangle
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Objectifs
- maîtriser les outils de la trigonométrie dans le triangle rectangle
- savoir utiliser la calculatrice pour déterminer des sin/cos/tan et des angles (avec les arrondis et notations appropriés)
- connaître quelques résultats de base de la trigonométrie: sin2(x) + cos2(x) = 1, sin(x)/cos(x) = tan(x)
- résoudre des problèmes faisant appel à la trigonométrie
- savoir utiliser à bon escient les outils géométriques en fonction du problème donné : pythagore, trigo, thales, ...
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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relations
liant angles et longueurs des côtés dans le triangle rectangle
(sin, cos, tan)
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formules
de base de la trigonométrie : sin2(α)
+ cos2(α)
= 1 ,
-
relations
trigonométriques entre sinus, cosinus et tangente des angles
complémentaires
-
valeurs
exactes des sinus, cosinus et tangente de 30°, 45° et 60°
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Savoirs-faire
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savoir
utiliser la calculatrice pour déterminer des sinus/cosinus/tangente
et des angles (avec les arrondis et notations appropriés)
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savoir
démontrer les formules : sin2(α)
+ cos2(α)
= 1 ,
-
résoudre
des problèmes faisant appel à la trigonométrie
-
utiliser
à bon escient les outils géométriques en fonction du problème
donné : Pythagore, Thalès, trigonométrie
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Chapitre 12: Géométrie cartésienne
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Objectifs
- faire le lien entre la géométrie et l'algèbre
- notions de repère (orthonormal) et de coordonnées d'un point dans un repère donné
- comprendre le lien entre une figure du plan constituée de points et son équation
- lien entre droites et équations du premier degré
- lien entre paraboles et équations du deuxième degré
- équations de cercles
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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- Connaître le vocabulaire relatif au repère orthonormé et au repérage des points.
- Vocabulaire de géométrie cartésienne : origine, axes (abscisse et ordonnée), repère orthonormé, coordonnées, abcisse, quadrants
- Produit cartésien
- Expliquer comment on détermine la distance et le milieu entre deux points.
- Définir, exprimer et représenter graphiquement des produits cartésiens.
- Equations à deux inconnues, solutions
- Comprendre le lien entre géométrie (droites,
cercles, ...) et algèbre (équations) via la correspondance entre les
couples solutions d'une équation donnée en x et y et les points situés
sur un objet géométrique
- Notion de pente d'une droite
- Comprendre et utiliser les équations de droites verticales et horizontales.
- Connaître les formes cartésienne et réduites des équations de droites, ainsi que l'influence des différents paramètres
- Connaître
le vocabulaire et les propriétés relatifs aux droites : pente, ordonnée
à l'origine, droites parallèles, droites perpendiculaires.
- Relation entre pentes de deux droites perpendiculaires
- Expliquer comment on déterminer l'équation d'un cercle de centre et de rayon donné.
- Connaître les trois formes de l'équation d'une parabole et les avantages de chacune.
- Connaître les formules relatives au sommet, à l'axe de symétrie et à l'intersection avec les axes d'un parabole.
- Comprendre les déplacements ou transformations dus au différents paramètres de l'équation standard de la parabole.
- Réinvestir les connaissances du chapitre 7 sur les équations du deuxième degré pour traiter les équations de paraboles.
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Savoirs-faire
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- Placer des points dans un repère et lire correctement les coordonnées d'un point donné.
- savoir déterminer si un couple est solution ou pas d'une équation en x et y donnée
- savoir représenter dans le plan tous les couples vérifiant une condition donnée (équation - inéquation simple)
- savoir décrire par une équation ou une inéquation simple des lieux géométriques du plan
- représenter un ensemble donné sous forme de produit cartésien
- écrire sous forme de produit cartésien un ensemble représenté graphiquement
- calculer la distance entre deux points
- calculer le milieu entre deux points
- déterminer la pente entre deux points, la pente d'une droite
- représenter le graphe d'une équation du type ax-by+c 0 ou y = mx + n
- déterminer l'équation d'une droite vérifiant des conditions données
- passant par deux points
- passant par un point et parallèle à une droite d'équation donnée
- passant par un point et perpendiculaire à une droite d'équation donnée
- tangente à un cercle donné en un point donné
- représenter un cercle à partir de son équation
- déterminer l'équation d'un cercle donné
- déterminer si une équation donnée est celle d'un cercle
- déterminer l'équation d'une parabole donnée
- à partir du sommet et d'un point
- à partir des intersections avec l'axe Ox et d'un point
- représenter une parabole à partir de son équation
- résoudre et interpréter graphiquement des problèmes d'intersection
- entre deux droites
- entre deux paraboles
- entre une droite et une parabole
- entre un cercle et une droite verticale ou horizontale
- niveau A : entre un cercle et une droite oblique
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Chapitre 13: Systèmes d'équations
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Objectifs
- résoudre des systèmes 2x2 par différentes méthodes
- faire le lien entre approche algébrique et géométrique
- modéliser
Compétences attendues à la fin du chapitre
Savoir définir/justifier/illustrer
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Connaître
le vocabulaire relatif aux équations : être solution, ensemble de
solutions, équations équivalentes.
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Savoir
définir un système d'équations avec l'idée de simultanéité.
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Connaître
la forme de la solution cherchée : couple, triplet,etc.
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Savoir
reconnaître les situations particulières, sans solutions ou avec
une infinité de solutions.
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Vocabulaire
particulier : équations linéaires, système triangulé.
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Comprendre
la représentation graphique d'un système de deux équations
linéaires à deux inconnues.
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Pouvoir
expliquer les différentes méthodes de résolution algébrique d'un
système de deux équations linéaires à deux inconnues
(substitution, addition, triangulation).
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Connaître
les différentes étapes de la résolution d'un problème à l'aide
des systèmes d'équations linéaires.
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Savoirs-faire
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Être
capable de tester si un couple (un triplet) proposé est solution
d'un système donné.
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Pouvoir
représenter graphiquement un système de deux équations linéaires
à deux inconnues.
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Pouvoir
résoudre algébriquement tout système de deux équations linéaires
à deux inconnues.
-
Pouvoir
résoudre par substitution, par addition et par triangulation tout
système de deux équations linéaires à deux inconnues.
-
Être
capable de résoudre algébriquement un système de trois équations
linéaires à trois inconnues.
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Pouvoir
reconnaître les inconnues dans un problème et le mettre en
équation à l'aide d'un système d'équations.
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